Златно сечение

Христина Тодорова

 

Златното сечение (известно още като златна пропорция, златен коефициент или божествена пропорция) е ирационално число в математиката, което изразява отношение на части, за които по-малката част се отнася към по-голямата, така както по-голямата към цялото. То се отбелязва с гръцката буква φ и има стойност приблизително равна на 1,618...

Определение: По-голямата част се отнaся към по-малката, както цялото към по-голямата. Ако по-малката отсечка приемем за единица, то може да запишем пропорцията: (Х+1) / Х = Х / 1, която се свежда до обикновено квадратно уравнение X2 - X - 1 = 0, чието положително решение е:или 1.618033988...

Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършенство, както в изкуството и науката, така и в природата. За въвеждането на термина "златно сечение" е отговорен не кой да е, а именно Леонардо да Винчи, който възвръща интереса към този проблем след няколко века забрава, изучава го в научните си изследвания и прилага непрекъснато като композиционен и формообразуващ елемент в своите живописни платна. Леонардо използва златното сечение като пропорция за "идеалното човешко тяло" и нагледно го демонстрира в своята рисунка “Витрувианският човек”*, намерена в един от дневниците му. Тя често е наричана “Закон на пропорциите” (Canon of Proportions) и по-рядко “Човешки пропорции” (Proportions of Man). Според бележките на Леонардо в придружаващия текст, написан огледално, картината е нарисувана като опит за изучаване на пропорциите на (мъжкото) човешко тяло, както са описани от древноримския архитект Витрувий*, който пише:

• четири пръста са равни на една длан
• четири длани са равни на една стъпка
• шест длани правят един лакът
• четири лакътя са един човешки ръст
• широчината на разперените ръце е равна на височината на човек
• разстоянието от корените на косата до долния край на брадичката е равно на една десета от ръста
• разстоянието от долния край на брадичката до темето е равно на една осма от ръста
• максималната широчина на раменете е равна на една четвърт от ръста
• разстоянието от лакътя до края на дланта е равно на една пета от човешкия ръст
• разстоянието от лакътя до ъгъла на подмишницата е една осма от ръста
• дължината на дланта е една десета от ръста
• разстоянието от долния край на брадичката до носа е една трета от дължината на лицето
• разстоянието от корените на косата до веждите е една трета от дължината на лицето
• дължината на ухото е равна на една трета от лицето

Леонардо да Винчи – “Витрувианския човек” – 1492 г., Галерия дел’Академия – Венеция

 

В една от своите книги Витрувий  заявява, че сградите трябва да имат пропорциите на човека, че човешкото тяло е образец за пропорционалност, защото, когато ръцете и краката са изпънати, то се вмества точно в “съвършенните” геометрични форми – квадрата и кръга. И още: “...Пъпът е естествено разположен в центъра на човешкото тяло и ако човек лежи по гръб с разперени ръце и крака, от неговия пъп, като център, може да се опише окръжност, която ще докосва върховете на пръстите на ръцете и краката...”. (1)

Витрувианският човек, както са нарекли тази фигура, се появява преди Леонардо да Винчи, но именно в прочутата Леонардова рисунка във Венеция той получава най-съвършения си израз и може би най-правилният.

 

История

В достигналата до нас антична литература, златното сечение се среща за първи път в “Елементи”* на Евклид. След Евклид, с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В средновековна Европа златното сечение достига чрез преводите на ”Елементи” на Евклид, а преводачът Дж. Kампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите.

В епохата на Ренесанса интересът на учените и художниците към златното сечение се усилил във връзка с неговото приложение в геометрията, в изкуството и най-вече в архитектурата. През 1509 г. във Венеция била издадена книгата на монаха Лука Пачоли** “Божествена пропорция” с илюстрации, които се предполага, че са на Леонардо да Винчи. По това време в Северна Европа друг един гений на Ренесанса – Албрехт Дюрер работи над същите проблеми. Според едно от неговите писма, той се е срещал с Лука Пачоли при едно от пребиваванията му в Италия. Албрехт Дюрер подробно разработва теорията за пропорциите на човешкото тяло като важно място в неговата работа заема златното отношение. Той установил, че ръста на човек се дели в златно отношение от линията на кръста.

Астрономът Йохан Кеплер през 16-ти век нарича златното отношение едно от съкровищата на геометрията. Той пръв отбелязва приложението на златното сечение в ботаниката.

      

 

Страници от “Божествена пропорция” на Лука Пачоли, 1509 г., Венеция

 

През 1855 г. немският изследовател Адолф Цайзинг публикува своя труд “Естетически изследвания”, в който обявява златното сечение за универсално във всички явления в природата и изкуството. Цайзинг извършил около две хиляди измервания на човешки тела и достигнал до извода, че златното сечение изразява средно статистически закон. Той показва, че деленето на тялото в точката на пъпа е най-добрият пример на златно отношение. Според него пропорциите на мъжкото тяло се колебаят в пределите на отношението 13 : 8 = 1,625 и са много по-близки до златната пропорция, отколкото женското тяло, чието средно отношение е 8 : 5 = 1,6. Пропорцията на златното сечение се проявява и при други части на тялото.

 

      

 

Илюстрация на Леонардо да Винчи към „Божествена пропорция“, показваща приложението на златното сечение към пропорциите на човешкото лице.

 

Златното сечение в математиката – златни геометрични фигури

Златен правоъгълник е правоъгълник, при който отношението на страните е равно на златното сечение. При премахването на квадрат със страни равни на по-малката страна на златен правоъгълник, остатъкът е отново правоъгълник със съотношение на страните равно на φ. Т.е. при премахването на квадрат от златен правоъгълник, се получава отново златен правоъгълник. Това се доказва лесно, използвайки алгебричните свойства на φ и лицата на правоъгълниците. При повтаряне на тази последователност се получава поредица от все по-малки златни правоъгълници, а при вписването на четвърт окръжност във всеки от получените квадрати се получава логаритмична спирала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Златен правоъгълник и построяване на златна спирала

 

Златен триъгълник е равнобедрен триъгълник, при който отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение. Съществуват два вида триъгълници, при които отношението на бедрото и основата е равно на златното сечение: остроъгълни (при който основата е по-малка от бедрото и ъгли 36° на върха и 72° при основата) и тъпоъгълен (при който основата е по-голяма от бедрото и ъгли 108° на върха и 36° при основата). Вторият вид триъгълници, често се нарича сребърен триъгълник.

Пентаграмът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник. Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.

     

пентаграм - от гр. "pentagrammon", "pente" - пет и "gramma" - линии

 

 

Златното сечение в изкуството

В цялата история на изкуството има безброй примери на произведения, в които абсолютно целенасочено авторите им са използвали принципа на божествената пропорция при тяхното създаване. Става въпрос за един осъзнат, търсен и последователен акт на “правене” на тези творби, които въздействат с простотата и едновременно с това с “желязната” си постройка. За непросветения зрител те са изключителни без да съществува логично обяснение за това. Както обаче знаем, в изкуството няма нищо случайно. Всеки ефект, всяка уж случайно постигната хармония, всяка удивителна композиция е плод на съзнателно търсене от страна на автора и в нередки случаи му е коствала продължителни опити. Много са имената на художниците, които не се задоволяват само да “изобразяват” нещата, а се интересуват и изследват в дълбочина плоскостта на картината. Не един и два са примерите на автори, които са едновременно и велики художници и истински учени и откриватели. Съвсем закономерно е една от посоките, които винаги е вълнувала артистичния свят да е именно златното сечение, тъй като всеки се стреми да създаде “съвършената” картина. Доказано е, че човек харесва някакъв предмет първо заради формата му. Усещането за красота и хармония най-често произтича от съчетанието на симетрия и златно сечение. Цялото винаги се състои от части и ако те са в “златно” съотношение – помежду си и с цялото, то това винаги е белег за структурно и функционално съвършенство в изкуството, науката, техниката и природата.

Още през Ренесанса художниците открили, че всяка картина има определени точки, които приковават нашето внимание, т. н. зрителни центрове. Те са 4 и са разположени на разстояние 3/8 и 5/8 от краищата на платното. Това откритие е именно “златното сечение” на картината. Ако художникът иска да акцентира психологически на някой детайл в платното, то той го поставя в един от тези четири зрителни центъра. От примерите по-долу ясно се вижда този закон и широкото му използване от великите майстори на четката. Малко по малко ще започнем да разбираме защо някоя картина има толкова силно магнетично въздействие и как авторът е постигнал тази “съвършена” композиция.

         Четирите зрителни центъра на картината, като

                                                                       всеки от тях представлява златно сечение

 

За да проследим използването на златното сечение в изкуството, ще търсим от една страна неговото чисто построение в картините, а от друга съществуването на златните геометрични фигури, съставящи композицията.

Не разполагаме с писмени свидетелства от древните египтяни за числото “Ф”, обаче в тяхното изкуство и архитектура се съдържат немалко признаци, че то не само им е било известно, но са виждали в него магическото и божествено проявление. Вероятно са знаели как да го построят геометрично от правоъгълник със страни 2/1. Древните египтяни са били първите, които са използвали математиката в изкуството. Почти е сигурно, че те си приписват авторството върху магичната собственост на златното сечение (златно отношение, божествена пропорция, фи) и са го използвали при създаването на техните пирамиди. Размерите на Голямата пирамида са в доста любопитни съотношения. Отношението 440:280 може да се сведе до 11:7, което е близко до п/2, а отношението между височината и половината на страната на пирамидата, се оказва "златно": 356:220 = 1.618 = Ф

      

    

 

Питагор (560-480 пр. Хр.), детайл от Атинската школа на Рафаел

В Древна Гърция Питагор (560-480 пр.н.е.) бил специално заинтересован от златното сечение и доказва, че то е в основата на пропорциите на човешкото тяло, което е построено така, че всяка част е в определено златно сечение към всички други части. В класическа древна Гърция са възникнали много учения за хармонията, от които най-дълбока следа в световната култура оставило Питагорейското учение. Последователите му си представяли света, вселената, космоса, природата и човека като единно цяло, където всичко е свързано и е в хармонични взаимоотношения. Те представят хармонията като начало на реда, като сила, побеждаваща хаоса. Хармонията е присъща на природата и изкуството: “Едни и същи закони съществуват за музикалните гами и за планетите”.

 

 

храм Партенон, Акропола, Атина

 

Питагоровите открития върху пропорциите на човешкото тяло имат извънредно голям ефект върху гръцкото изкуство. Всяка част на сградите съотнесен към по-малките детайли от декорацията, бил конструиран посредством тази пропорция. Партеонът е бил може би най-добрия пример за обръщането на математиката към изкуството. Ако се възстанови разрушения триъгълен фронтон, височината и основата образуват почти точно златен правоъгълник. Основните архитектурни елементи също се вписват в правилото на “златното сечение”.

Средновековните строители на църкви и катедрали подхождали към дизайна на своите сгради по много сходен начин на гърците. Натоварвайки своите строежи със сложна и многослойна символика, те смятали, че като се следва определена геометрична логика, сградата се оказва заредена със свещена сила. Добрата геометрична структура била тяхната цел. Вътре и отвън, техните сгради били сложни конструкции базирани на златното сечение.*

 

     Фасадата на “Нотр Дам дьо Пари” – Париж

 

През Ренесанса са много авторите, които акцентират вниманието си върху проблема. Няма нищо по-естествено от това да го открием и в най-големия шедьовър на Леонардо – Мона Лиза. И тук, както и в повечето му творби “разчитаме” златните правоъгълници и златния триъгълник.

“Разпятие” на Рафаел е друг добре познат пример. Централните фигури се намират в златен триъгълник, който може да бъде използван да обособи един от скритите пентаграми.

“Автопортрет” на Рембранд е пример за триъгълна композиция – оформяща сложната тема в рамките на три прави линии. Различните дължини на страните добавят малко разнообразие.

                                                                                               

 

 Леонардо да Винчи – “Мона Лиза”, 1503-1507 г., масл. бои върху дъска, 77х53 см, Лувър, Париж

 

Перпендикулярната линия от върха на триъгълника към основата би срязала основата в златно сечение.

Няма да ни изненада използването на златното отношение и от Жорж Сьора, още една личност на художник в изкуството, завладян от задълбочените изследвания на композицията и цвета. Сьора “атакува” всяко свое платно със златното сечение. Неговите “Къпещи се” съдържат очевидни златни фигури. Не случайно и психологичния център на композицията – главата на момчето е поставена на златното сечение.

 

          

 Рембранд – “Автопортрет” – 1640 г., масл. бои, платно                                          

Рафаел – “Разпятие” 1502-1503, масл.бои на дърво, Национална галерия, Лондон

 

 

                                                         

  Жорж Сьора – “Къпещи се“

 

  

 

 

 

Салвадор Дали – “Тайнството на тайната вечеря” – 1955 г., масл. бои, Национална галерия, Вашингтон

 

Платното на Дали като формат представлява златен правоъгълник. Златните пропорции са били използвани и за позиционирането на фигурите, а част от огромен додекаедър се носи над масата.

Златното сечение отново е възродено през XX в. благодарение на Льо Корбюзие – един истински гений на дизайна и архитектурата. Той разработва скала от пропорции, която нарекъл Модулор, представена в трактата “Le Modulor” (1948). Тази скала е разработена за архитектурни форми, но скоро е намерила приложение и в други сфери, в това число в конструирането на печатната страница. Опирайки се на принципа на златното сечение, като главни точки, Льо Корбюзие избира слънчевия сплит, върха на главата и края на пръстите на вдигната ръка. На тази основа получил безкраен ред математически отношения, които широко се използвали в архитектурната практика. Същата пропорция  се вижда и в неговите модерни апартаменти.

 

“Без математика няма изкуство”.*

 

 

       

 

Ле Корбюзие – “Модулор”

 

Литература